• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
14
Апрель

Динамические системы в естествознании

2018/2019
Учебный год
RUS
Обучение ведется на русском языке
5
Кредиты

Преподаватель

Программа дисциплины

Аннотация

Настоящая дисциплина относится к блоку дисциплин «Проектная и исследовательская работа» и является научно-исследовательским (проектным) семинаром. Изучение НИС базируется на хорошем владении математическим аппаратом выпускника средней общеобразовательной школы. Для освоения НИС, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: знать основы математического анализа, алгебры и геометрии в рамках средней общеобразовательной школы, уметь решать типовые школьные задачи по математике, помнить основные математические теоремы школьного курса математики. Курс опирается на знания студентов, приобретенные при изучении основ элементарной математики, и обеспечивает теоретическую подготовку и практические навыки в области современных методов математического анализа. НИС «Приложения теории динамических систем в естествознании» занимает основополагающую позицию в образовании студентов специальности «математика», давая язык, логику и понятия, необходимые для овладения большинством математических дисциплин, как то: дифференциальные и интегральные уравнения, функциональный анализ, теории функций действительной и комплексной переменных, вычислительные методы, вариационное и операционное исчисления, дифференциальная геометрия, топология, теория вероятностей, оптимальное управление и т.д.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • освоение методов математического моделирования
  • освоение методов исследования математических моделей, возникающих в естествознании
  • изучение динамики математических моделей
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Умеет строить математические модели динамических процессов
  • Понимает, что такое доказательство. Умеет логически выстраивать доводы, основываясь на введенных понятиях и уже доказанных фактах
  • Умеет решать типовые теоретические и вычислительные задачи
  • Имеет навыки применения методов в смежных теоретических и прикладных областях
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Применение динамических систем в небесной механике.
    Небесная механика и законы Кеплера. Основной труд Ньютона. Проблема двух тех, когда одно тело много массивнее другого. Проблема двух тел в общем случае. Проблема трех тел в небесной механике. Открытие Пуанкаре гомоклинических орбит.
  • Применение динамических систем в гидродинамике.
    Элементы гидродинамики. Уравнение непрерывности (неразрывности). Уравнение Эйлера (в гидродинамике). Закон Бернулли (в гидродинамике). Закон Торричелли о вытекании жидкости из сосуда. Управление уровнем жидкости в сосуде
  • Математические модели осцилляторов.
    Законы Кирхгофа. Математическая модель линейного осциллятора. Фазовые портреты. Ламповый генератор электрических колебаний. Уравнение Ван-дер-Поля. Андронов А.А. и проблема возникновения автоколебаний.
  • Применение динамических систем в биологии.
    Простейшие модели динамики популяций. Управление динамикой одной популяции. Модель хищник-жертва Лотки-Вольтерра. Управление популяциями в модели Лотки-Вольтерра
  • Математические бильярды как модели некоторых моделей естествознания.
    Математический бильярд. Механические задачи, приводящие к математическим бильярдам. Математический бильярд в области, ограниченной гладкой кривой. Бильярд в круге и эллипсе. Математические бильярды в многоугольниках
  • Применение динамических систем в изучении электромагнитных процессов.
    Электрические и магнитные поля. Уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной формах. Гамильтониан и его свойства. Сила Лоренца. Элементы электростатики и магнитостатики. Электромагнитные волны. Уравнение Пуассона.
  • Элементы магнитной гидродинамики.
    Двойное векторное произведение и тождество Якоби. Уравнение индукции магнитного поля в движущейся электропроводящей среде. Применение динамических систем Морса-Смейла к изучению магнитных полей Солнца и астрофизических тел. Проблема существования сепараторов в магнитных полях плазмы. Топологическая структура магнитного поля короны Солнца. Магнитные поля в космосе. Динамо-модели. Двумерные динамо-модели, построенные с помощью аносовских автоморфизмов. Подковы в конструкциях двумерного динамо. Трехмерные модели динамо и соленоид Смейла. Построение трехмерных моделей динамо веревочного типа с помощью модифицированных диффеоморфизмов Смейла
  • Математические модели, описываемые уравнением реакции-диффузии.
    Построение цепочек связанных отображений для уравнения реакции-диффузии. Динамика локального отображения (метод Песина-Юрченко) в цепочках связанных отображений
  • Динамика плоских течений несжимаемой среды.
    Безвихревое плоское течение несжимаемой жидкости. Комплексный потенциал плоского течения жидкости. Свойства комплексного потенциала. Комплексный потенциал точечного вихря. Подъемная сила Чаплыгина
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Контрольная работа
  • неблокирующий Домашнее задание
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (3 модуль)
    0.5 * Домашнее задание + 0.5 * Контрольная работа
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Арнольд В.И., Хесин Б.А. - Топологические методы в гидродинамике - Московский центр непрерывного математического образования - 2007 - 392с. - ISBN: 978-5-94057-312-8 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/9291
  • Самарский А.А., Михайлов А.П. - Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры - Издательство "Физматлит" - 2005 - 320с. - ISBN: 5-9221-0120-X - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/59285

Рекомендуемая дополнительная литература

  • под редакцией В. М. Матросова, В. В. Румянцева, А. В. Карапетяна - Нелинейная механика - Издательство "Физматлит" - 2001 - 432с. - ISBN: 5-9221-0091-2 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/59276