• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Алгебра

2019/2020
Учебный год
RUS
Обучение ведется на русском языке
8
Кредиты

Преподаватели

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина направлена на освоение понятий и утверждений теории определителей, систем линейных уравнений и матричной алгебры; теории многочленов и комплексных чисел; основ теории линейных пространств; знакомство с теорией алгебраических систем (группа, кольцо, поле).
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Освоение фундаментальных понятий и результатов высшей алгебры, линейной алгебры, теории классических алгебраических систем.
  • Формирование умений и навыков в решении алгебраических задач.
  • Знакомство с основными вычислительными алгоритмами алгебры.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Знать определения и утверждения из теории систем линейных уравнений
  • Уметь решать системы линейных уравнений методом Гаусса.
  • Уметь доказывать результаты из теории систем линейных уравнений
  • Знать определения и результаты теории определителей и теории перестановок и подстановок
  • Уметь вычислять определители.
  • Уметь доказывать результаты результаты теории определителей и теории перестановок и подстановок
  • Уметь выполнять действия с матрицами, уметь находить обратную матрицу
  • уметь определять четность подстановки, перестановки, уметь выполнять действия с подстановками
  • Уметь находить ранг матрицы, уметь решать системы линейных уравнений, уметь находить фундаментальную систему решений
  • Уметь находить наибольший общий делитель, раскладывать на множители, выполнять действия в кольце классов вычетов
  • Уметь выполнять действия с комплексными числами, записывать тригонометрическую форму, находить корни из комплексных чисел
  • Уметь выполнять действия с многочленами, делить многочлен на многочлен, находить наибольший общий делитель многочленов, определять кратность корня, отделять корни многочленов методом Штурма
  • Уметь определять линейную зависимость системы векторов, находить базис и размерность подпространства, находить базисы суммы и пересечения, матрицы перехода от одного базиса к другому.
  • Уметь находить матрицу линейного оператора в различных базисах, уметь находить собственные числа и векторы линейного оператора, жорданову нормальную форму и жорданов базис линейного оператора, находить минимальный многочлен линейного оператора.
  • Знать определения и утверждения теории матриц
  • Уметь доказывать результаты из теории матриц
  • Знать определения и утверждения теории систем линейных уравнений
  • Уметь доказывать результаты теории систем линейных уравнений
  • Знать определения и утверждения теории делимости в кольце целых чисел
  • Уметь доказывать результаты теории делимости в кольце целых чисел
  • Знать определения и утверждения из теории комплексных чисел
  • Уметь доказывать результаты теории комплексных чисел
  • Знать определения и утверждения теории многочленов
  • Уметь доказывать результаты теории многочленов
  • Знать определения и утверждения теории векторных пространств
  • Уметь доказывать результаты теории векторных пространств
  • Знать определения и утверждения теории линейных отображений
  • Уметь доказывать результаты теории линейных отображений
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Метод последовательного исключения неизвестных.
    Общие определения. Метод Гаусса. Критерий совместности.
  • Теория определителей.
    Определители малых порядков. Перестановки и подстановки. Определители n-го порядка и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Правило Крамера.
  • Алгебра матриц.
    Сложение матриц, умножение матриц на число, умножение матриц, обратная матрица. Основные определения, утверждения и примеры групп, колец, полей.
  • Системы линейных алгебраических уравнений.
    n-мерное арифметическое пространство. Ранг матрицы. Критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений. Однородные системы. Фундаментальная система решений. Связь между решениями неоднородной системы и присоединенной однородной системы.
  • Поле комплексных чисел.
    Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа, операции. Степень и извлечение корня из комплексного числа. Группа корней из единицы.
  • Делимость в кольце целых чисел.
    Делимость целых чисел. Свойства. НОД и НОК. Свойства. Алгоритм Евклида. Взаимно простые числа. Свойства, критерий взаимной простоты. Простые числа и их свойства. Решето Эратосфена. Теорема Евклида. Основная теорема арифметики, следствия из нее. Кольцо вычетов по модулю m. Целостные кольца. Поле вычетов. Характеристика поля.
  • Кольцо многочленов.
    Определение кольца многочленов. Делимость в кольце многочленов. Факториальность кольца многочленов над полем. Корни многочленов. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Многочлены с действительными коэффициентами. Локализация корней: теорема Штурма.
  • Векторные пространства.
    Линейная зависимость, базис, размерность. Подпространства, сумма и пересечение подпространств, прямая сумма. Координаты, матрица перехода от одного базиса к другому.
  • Линейные отображения и операторы.
    Действия с линейными отображениями, их матрицы. Ядро, образ, ранг, дефект линейного отображения. Инвариантные подпространства. Собственные числа и векторы. Характеристический и минимальный многочлен оператора (матрицы). Жорданова форма линейного оператора (матрицы).
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий контрольная работа
  • неблокирующий коллоквиум
  • неблокирующий устный экзамен
    Экзамен проводится в устной форме (опрос по материалам курса). Экзамен проводится на платформе MS Teams (https://teams.microsoft.com). К экзамену необходимо подключиться согласно расписанию ответов, высланному преподавателем на корпоративные почты студентов накануне экзамена. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, поддержка MS Teams. Для участия в экзамене студент обязан: поставить на аватар свою фотографию, явиться на экзамен согласно точному расписанию, при ответе включить камеру и микрофон. Во время экзамена студентам запрещено: выключать камеру, пользоваться конспектами и подсказками. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи до 5 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение 5 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.15 * коллоквиум + 0.15 * контрольная работа + 0.7 * устный экзамен
  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    0.15 * коллоквиум + 0.15 * контрольная работа + 0.7 * устный экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Алгебра, учебник для студентов-математиков, Ч. 1, 485 с., Городенцев, А. П., 2013
  • Введение в алгебру, учебник, Ч. 1, 2-е изд., испр., 272 с., Кострикин, А. И., 2001
  • Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, учебник, 15-е изд., стер., 444 с., Беклемишев, Д. В., 2017
  • Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, учебник, 9-е изд., испр., 376 с., Беклемишев, Д. В., 2001
  • Курс высшей алгебры, учебник, 19-е изд., стер., 431 с., Курош, А. Г., 2013
  • Сборник задач по алгебре, учебное пособие : в 2 т., Т. 1, под ред. А. И. Кострикина, 264 с., , 2007
  • Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, учебное пособие, под ред. Д. В. Беклемишева, 5-е изд., стер., 495 с., Беклемишева, Л. А., Беклемишев, Д. В., Петрович, А. Ю., Чубаров, И. А., 2017

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Линейная алгебра, учебник, 6-е изд., стер., 278 с., Ильин, В. А., Позняк, Э. Г., 2014
  • Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре, под ред. Ю. М. Смирнова, новое изд., 391 с., , 2016