Theory of Complex Functions

2021/2022

Учебный год

ENG

Обучение ведется на английском языке

7

Кредиты

Кто читает:

Кафедра фундаментальной математики (Факультет информатики, математики и компьютерных наук (Нижний Новгород))

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

3-й курс, 1-3 модуль

Преподаватель

Галкин Олег Евгеньевич

Course Syllabus

Abstract

This discipline refers to the basic part of the disciplines and the block of disciplines that provide bachelor's training in the direction of 01.03.01 "Mathematics". It is studied in the 3rd year in 1-3 modules. The study of this discipline is based on a good command of the mathematical apparatus of previous courses. To master the discipline, students must possess the following knowledge and competencies: know the basics of mathematical analysis, algebra and geometry, studied in the first courses of the OP "Mathematics", remember the main mathematical theorems of the school course of mathematics. The course is based on the knowledge of students acquired during the study of the basics of elementary mathematics, and provides theoretical training and practical skills in the field of modern methods of mathematical analysis. The discipline "theory of functions of a complex variable" occupies a fundamental position in the education of students of the direction. "mathematics", giving the language, logic and concepts necessary for mastering most mathematical disciplines, such as: differential and integral equations, functional analysis, real function theory, computational methods, variational and operational calculus, differential geometry, topology, probability theory, optimal control, etc. Настоящая дисциплина относится к базовой части дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавра по направлению 01.03.01 «Математика». Изучается на 3-м курсе в 1-3 модулях. Изучение данной дисциплины базируется на хорошем владении математическим аппаратом предыдущих курсов. Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: знать основы математического анализа, алгебры и геометрии, изученные на 1,2 курсах ОП «Математика», помнить основные математические теоремы школьного курса математики. Курс опирается на знания студентов, приобретенные при изучении основ элементарной математики, и обеспечивает теоретическую подготовку и практические навыки в области современных методов математического анализа. Дисциплина «Теория функций комплексного переменного» занимает основополагающую позицию в образовании студентов направления «математика», давая язык, логику и понятия, необходимые для овладения большинством математических дисциплин, как то: дифференциальные и интегральные уравнения, функциональный анализ, теории функций действительной, вычислительные методы, вариационное и операционное исчисления, дифференциальная геометрия, топология, теория вероятностей, оптимальное управление и т.д.

Learning Objectives

• формирование у студентов представления об основных понятиях и методах теории функций комплексного переменного
• выработки умения применять полученные знания для решения задач, возникающих из различных разделов математики, физики и других областей знаний
• формирование у студентов общепрофессиональных и профессиональных компетенций в соответствии с требованиями ФГОС ВО

Expected Learning Outcomes

• Вычисляет значения основных функций комплексного переменного, исследует функции на дифференцируемость
• Вычисляет изображения и оригиналы, решает дифференциальные уравнения операционным методом
• Вычисляет различные типы интегралов с помощью вычетов
• Вычисляет результат аналитического продолжения данного элемента по кривой и в области
• Интегрирует дифференцируемые и недифференцируемые функции комплексного переменного по кривым
• Находит особые точки аналитических функций и определяет их тип
• Производит арифметические действия с комплексными числами, вычисляет модуль, аргумент и извлекает корни
• Раскладывает функции комплексного переменного в степенной ряд, определяет радиус сходимости полученного ряда, применяет теорему единственности для исследования существования дифференцируемой функции комплексного переменного, удовлетворяющей заданным условиям
• Раскладывает функцию в ряд Лорана в данном кольце, определяет области сходимости полученного ряда
• Строит конформные отображения областей, находит образы областей при отображении стандартными функциями

Course Contents

• Понятие комплексных чисел и стереографическая проекция
• Последовательности и ряды комплексных чисел, множества и кривые на комплексной плоскости
• Функции комплексного переменного, дифференцируемость, геометрический смысл производной
• Интегрирование функций комплексного переменного
• Функциональные ряды, степенные ряды, ряд Тейлора, теорема единственности
• Аналитическое продолжение функций комплексного переменного
• Ряд Лорана для функций комплексного переменного
• Особые точки аналитических функций
• Теория вычетов
• Конформные отображения
• Основы операционного исчисления

Assessment Elements

• Домашние задания
• Итоговый устный опрос

Interim Assessment

• 2021/2022 1st module
  0.5 * Итоговый устный опрос + 0.5 * Домашние задания
• 2021/2022 3rd module
  0.5 * Домашние задания + 0.5 * Итоговый устный опрос

Bibliography

Recommended Core Bibliography

• Аксенов А. П. - ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ В 2 Ч. ЧАСТЬ 1. Учебник и практикум для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 313с. - ISBN: 978-5-9916-7417-1 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/teoriya-funkciy-kompleksnoy-peremennoy-v-2-ch-chast-1-434511
• Аксенов А. П. - ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ В 2 Ч. ЧАСТЬ 2. Учебник и практикум для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 333с. - ISBN: 978-5-9916-7419-5 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/teoriya-funkciy-kompleksnoy-peremennoy-v-2-ch-chast-2-434512

Recommended Additional Bibliography

• Посицельская, Л. Н. Теория функций комплексной переменной в задачах и упражнениях : учебное пособие / Л. Н. Посицельская. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 136 с. — ISBN 978-5-9221-0794-5. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/59465 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.