Описание научного проекта

Цели и задачи исследования 

А) Задача. Построить (с помощью теоремы Чернова) квазифейнмановские формулы, дающие решение задачи Коши для уравнения Шрёдингера на многообразиях

Цель. Проверить, возможно ли это осуществить, используя формулу R(t)=exp(i(S(t)-I)), полученную И.Д.Ремизовым в 2016 году, а также наработки участников НУГ за 2020 год.

Б) Задача. Исследовать скорость сходимости черновских аппроксимаций к решению уравнения теплопроводности для нескольких (не менее 2) функций Чернова. Построить таблицу, показывающую, как скорость зависит от порядка функции Чернова и гладкости начального условия  (рассмотреть не менее 5 начальных условий разной гладкости).

Цель. Проверить, можно ли написать программу для ЭВМ, позволяющую задавать функции Чернова как операторы в общем виде (например, на языке Python).

В) Задача. Изучить свойства одного однопараметрического семейства вещественных функций на числовой прямой, которое включает в себя непрерывную нигде не дифференцируемую функцию Такаги. Функции этого семейства определяются функциональным рядом, аналогичным ряду, задающему функцию Такаги, но каждое слагаемое возводится в степень. Показатель степени является параметром этого семейства, поэтому мы дали этому семейству рабочее название «степенной класс Такаги». В число свойств, которые предполагается изучить у степенного класса Такаги, входят: область допустимых значений параметра, непрерывность, дифференцируемость, крайние подабсциссы, глобальные максимумы, точки глобальных максимумов.

Цель. Планируемое исследование является, с одной стороны, логическим продолжением работы Галкина и Галкиной «О свойствах функций показательного класса Такаги» (Уфимский математический журнал. 2015. Т.7, №3, с. 29–38), где проведено аналогичное исследование другого класса функций. С другой стороны, предполагаемое исследование является началом большой программы исследований, базирующихся на результатах двух работ Галкина и Галкиной: «Глобальные экстремумы функции Деланжа, оценки цифровых сумм и вогнутые функции» (Математический сборник. 2020. Т.211, №3, с. 336–372) и «Применение крайних под- и надаргументов, выпуклых и вогнутых оболочек для поиска глобальных экстремумов» (Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2019. Т.29, №4, с. 483–500). В этих работах выявлено, что при поиске глобальных максимумов функций (в том числе недифференцируемых) большую помощь может оказать знание крайних подабсцисс. Отсюда вытекает, что необходимо вычислить крайние подабсциссы у как можно большего количества функций. Достижению этой цели для степенного класса Такаги и должно помочь наше исследование.

Описание методик, методов исследования, получения научного результата, включая описание источников информации для проведения работы

Приведём основные определения и результаты, на которых основаны методы получения научного результата в проекте.

Эволюционным уравнением называется всякое уравнение вида u'_t(t,x)=Lu(t,x), примеры таких уравнений - уравнение теплопроводности и уравнение Шрёдингера; в этих двух случаях оператор L дифференциальный (по переменной х, например, в качестве L может выступать лапласиан), поэтому уравнение содержит частные производные по х. Полагая U(t)(x)=u(t,x), можно переписать это уравнение в частных производных относительно принимающей числовые значения функции u как обыкновенное дифференциальное уравнение U'(t)=LU(t) относительно функции U, которая принимает значения в (обычно банаховом или гильбертовом) пространстве функций переменной х. В самом деле, при каждом фиксированном t выражение u(t,x) представляет собой функцию от х, в этом и заключается смысл равенства U(t)(x)=u(t,x). Такая замена позволяет применять к исследованию исходного уравнения методы функционального анализа, в частности, теорию дифференциальных уравнений в банаховых пространствах и теорию операторных полугрупп.

Если F - банахово пространство, и Lb(F) - пространство всех линейных ограниченных операторов в F, то сильно непрерывной однопараметрической полугруппой (С0-полугруппой) операторов в F называется такое отображение G неотрицательной вещественной полуоси в Lb(F), что:

1. Это отображение переводит 0 в тождественный оператор в F, G(0)=I

2. Это отображение переводит сумму чисел в композицию операторов в F, G(a+b)=G(a)G(b)

3. Для каждого фиксированного вектора f из F отображение G(t)f непрерывно по t. Это условие равносильно непрерывности G в сильной операторной топологии в пространстве Lb(F), отсюда и название "сильно непрерывная полугруппа".

Каждая С0-полугруппа обладает единственным инфинитезимальным генератором, то есть таким замкнутым линейным оператором в F, что Lf=lim (t--->+0)  (G(t)f-f)/t для всех f из области определения оператора L, и эта область представляет собой плотное линейное подпространство в F. Генератор является аналогом производной в нуле, и используется обозначение G(t)=exp(tL), которое является естественным в свете условий 1 и 2 в определении С0-полугруппы. Конечно, не каждый замкнутый оператор является генератором С0-полугруппы, но каждая С0-полугруппа однозначно задаётся своим генератором. Соответствие между полугруппой и генератором похоже на соответствие между exp(tL) и L в случае, когда L - число.

Если оператор L является генератором С0-полугруппы, то задача Коши [u'_t(t,x)=Lu(t,x);  u(o,x)=u_0(х)]  и эквивалентная ей задача Коши [U'(t)=LU(t); U(0)=u_0] имеют решение U(t)=exp(tL)u_0, u(t,x)=(exp(tL)u_0)(x). Таким образом, для нахождения решения эволюционного уравнения с оператором L достаточно найти полугруппу с генератором L. Всестороннему осмыслению этого обстоятельства посвящена книга Engel, K.-J., Nagel, R.: One-parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. Springer (2000), полный текст которой прилагается к заявке.

Несмотря на краткость записи u(t,x)=(exp(tL)u_0)(x), эта формула непригодна для непосредственного вычисления exp(tL) по известному L, так как в большинстве интересных случаев оператор L не является ограниченным, поэтому нельзя задать экспоненту обычным рядом Тейлора по степеням оператора L. Однако, существует метод нахождения этой экспоненты, основанный на теореме Чернова, которая обобщает элементарную теорему анализа о "втором замечательном пределе". Эта теорема имеет на данный момент несколько эквивалентных формулировок, одна из которых принадлежит автору заявки. Приведём её ниже, сразу после определения касания по Чернову.

 Определение (И.Д.Ремизов, 2014). Говорят, что операторнозначная функция G касается по Чернову оператора L (то же самое иными словами: является касательной Чернова для оператора L), если G(t)f = f +tLf + o(t) при t--->+0 для всех векторов f из существенной области определения оператора L, плюс некоторые дополнительные технические условия, подробнее см, например, в статье [Ремизов И. Д. Фейнмановские и квазифейнмановские формулы для эволюционных уравнений // Доклады Академии Наук. Математика. 2017. Т. 476. № 1. С. 17-21.]

Теорема Чернова, современная формулировка. (исторически первую формулировку см. см. Paul R. Chernoff, Note on product formulas for operator semigroups// J. Functional Analysis 2:2 (1968), 238-242)

Из выполнения трёх условий

(E) Существует C_0-полугруппа exp(tL) операторов в банаховом простраснтве F, и её генератор равен L. (E от exsistence)

(CT) Существует функция S, касательная по Чернову к L. (CT от Chernoff tangency)

(N) Существует такое вещественное число, что при всех неотрицательных t норма ограниченного оператора S(t) не превосходит числа exp(at). (N от norm growth bound)

следует, что

exp(tL)f = lim (n---> +infinity)  S(t/n)^n f для всех f из F.

 Определение (восходит к работам О.Г.Смолянова 2000-х годов). Функцией Чернова оператора L называется функция, удовлетворяющая условиям теоремы Чернова для L, и поэтому пригодная для нахождения полугруппы с генератором L. (Каждая функция Чернова для оператора L является его касательной Чернова, но обратное неверно, так как с теореме Чернова кроме (СТ) присутствуют ещё два условия - (Е) и (N))

Теорема (M.H.Stone, 1932) Существует следующее взаимно-однозначное соответствие между С0-группами унитарных операторов в гильбертовом пространстве и самосопряжёнными операторами в этом пространстве:  группе exp(itH) соответствует оператор Н.

 Из теоремы Стоуна следует, что для каждого уравнения Шрёдингера u'_t(t,x)=iHu(t,x) существует решение задачи Коши при каждом начальном условии u_0. В самом деле, уравнение Шрёдингера -- это эволюционное уравнение, в котором L=iH, а оператор Н самосопряжённый. Поэтому по теореме Стоуна существует группа (которая тем более является и полугруппой) с генератором iH. Решение тогда пишется в виде u(t,x)= (exp(tL)u_0)(x).

 Теорема (И.Д.Ремизов, 2014, с полным доказательством опубликовано в 2016). Если оператор Н самосопряжённый, и S -- его касательная Чернова, причём для всех неотрицательных t верно S(t)=S(t)*, то задаваемая равенством R(t)=exp(i(S(t)-I)) функция R является функцией Чернова для оператора iH. Доказательству и обсуждению этого результата посвящена статья [Remizov I. D. Quasi-Feynman formulas – a method of obtaining the evolution operator for the Schrödinger equation // Journal of Functional Analysis. 2016. Vol. 270. No. 12. P. 4540-4557.].

 В показателе экспоненты exp(i(S(t)-I)) стоят при каждом t ограниченные операторы, поэтому её вычисление не представляет проблем, в отличие от экспоненты exp(itH), так как в большинстве интересных случаев оператор Н не является ограниченным. Эта теорема сводит нахождение функции R, удовлетворяющей трём условиям (E), (CT) для iH, (N), к нахождению функции S, удовлетворяющей лишь условию (CT) для Н и условию S(t)=S(t)*. В самом деле, (Е) для R следует по теореме Стоуна из самосопряжённости оператора Н, (CT) для R следует из (CT) для S, (N) для R следует из теоремы Стоуна и S(t)=S(t)*.

 Как показала практика, указанное выше упрощение является очень существенным. Именно это упрощение будет активно использоваться в работе по предлагаемому проекту. Пример применения этой теоремы в практике не автора заявки см. в статье [В. Ж. Сакбаев. Усреднение случайных блужданий и меры на гильбертовом пространстве, инвариантные относительно сдвигов//ТМФ, 191:3 (2017),  473–502].

 Кроме того, существует группа определений и утверждений, дающих понятийный аппарат для систематического исследования скорости сходимости черновских аппроксимаций, см. статью А. В. Веденин, В.С.Воеводкин, В. Д. Галкин, Е.Ю. Каратецкая, И. Д. Ремизов. Скорость сходимости черновских аппроксимаций решений эволюционных уравнений//Математические заметки 2020

Также будут использованы гипотезы о скорости сходимости черновских аппроксимаций, состоящие в том, что скорость сходимости будет тем выше, чем больше членов разложения функции Чернова по параметру t -->0 совпадают с соответствующими членами разложения аппроксимируемой полугруппы, см. прилагаемый к заявке файл I.D.Remizov. On estimation of error in approximations provided by Chernoff's product formula// International Conference "ShilnikovWorkshop-2018", Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod (Russia), book of abstracts, pp.38-41 (2018)

 Также в проекте будут разработаны методы решения параболических эволюционных уравнений для функций, принимающих значения в пространстве мер. Эти методы будут использовать континуальное интегрирование по пространству непрерывных функций для построения полугрупп, представляющих решения указанных параболических уравнений.

 Таким образом, для исследований будут привлечены хорошо зарекомендовавшие себя методы функционального анализа, теории операторных полугрупп, математического анализа и теории меры.