Группа создана в рамках конкурса исследовательских проектов научно-учебных групп Программы «Научный фонд НИУ ВШЭ» (НУГ).
- Эволюционным уравнением называется всякое уравнение вида u'_t(t,x)=Lu(t,x), примеры таких уравнений - уравнение теплопроводности и уравнение Шрёдингера; в этих двух случаях оператор L дифференциальный (по переменной х, например, в качестве L может выступать лапласиан), поэтому уравнение содержит частные производные по х. Полагая U(t)(x)=u(t,x), можно переписать это уравнение в частных производных относительно принимающей числовые значения функции u как обыкновенное дифференциальное уравнение U'(t)=LU(t) относительно функции U, которая принимает значения в (обычно банаховом или гильбертовом) пространстве функций переменной х. В самом деле, при каждом фиксированном t выражение u(t,x) представляет собой функцию от х, в этом и заключается смысл равенства U(t)(x)=u(t,x). Такая замена позволяет применять к исследованию исходного уравнения методы функционального анализа, в частности, теорию дифференциальных уравнений в банаховых пространствах и теорию операторных полугрупп.
- С точки зрения функционального анализа нахождение решения эволюционного уравнения равносильно нахождению некоторой сильно непрерывной однопараметрической полугруппы операторов в банаховом пространстве. А именно, решение задачи Коши [u'_t(t,x) = Lu(t,x); u(0,x)=u_0(x)] имеет вид u(t,x)=(exp(tL)u_0)(x), где параметризованная неотрицательным числом t совокупность линейных ограниченных операторов exp(tL) и называется эволюционной полугруппой. Равенство u(t,x)=(exp(tL)u_0)(x) показывает, что нахождение полугруппы -- это трудная задача, так как она равносильна решению указанной выше задачи Коши при всех возможных начальных данных u_0.
- Тем не менее, как заметил профессор О.Г.Смолянов (научный руководитель входящих в НУГ доцентов И.Д.Ремизова и О.Е.Галкина), в начале 2000х годов, эту полугруппу можно найти с помощью теоремы Чернова, получив в результате решение исходного уравнения в виде предела явно выписанных зависящих от натурального числа n и коэффициентов уравнения выражений, при стремящемся к бесконечности n. Иными словами, в результате применения теоремы Чернова получаем алгоритм, в котором указано, что конкретно нужно сделать с коэффициентами уравнения и начальным условием, чтобы получить решение. Этот подход позволяет получать как точные решения, так и приближения к решениям со сколь угодно высокой точностью — с вычислительной точки зрения такие аппроксимации могут быть ценны даже больше, чем точное решение. Однако, для применения теоремы Чернова требуется построить так называемую операторнозначную функцию Чернова. В кандидатской диссертации И.Д.Ремизова было создано исчисление функций Чернова — набор техник, позволяющих сравнительно легко строить функции Чернова в различных постановках задачи. Также И.Д.Ремизовым был предложен (основанный на введённом автором заявки понятии аппроксимационного подпространства) общий подход к изучению скорости сходимости черновских аппроксимаций, то есть изучения того, насколько быстро с ростом n убывает разница между точным решением u и приближённым u_n.
- Проект посвящён созданию новых методов с широкой областью применимости, исследованию скорости сходимости ранее построенных другими специалистами черновских апроксимаций, разработке методов построения быстро сходящихся аппроксимаций, что и доказывает актуальность проекта.