Исследовательские проекты смены
Традиционной особенностью наших смен являются групповые проекты. Так как наша смена по математике и информатике, то проекты охватывают и математику, и программирование, но соотношение везде разное, где-то придется больше программировать, а где-то вникать в математические тонкости.
Работа над проектами осуществляется по будням в промежуток между обедом и полдником.
В начале смены наши кураторы презентуют свои проекты и расскажут, что ждет участников. Каждый участник сможет выбрать то, что больше подходит ему. Переживать не стоит, задача найдется для каждого, будь то погружение в сложные рассуждения или, наоборот, блестящее представление ваших совместных результатов перед жюри.
Результаты работы над проектами можно использовать в будущем как основу для работы НОУ или других исследовательских проектов.
Ниже мы расскажем о том, какие проекты будут представлены на предстоящей смене.
«Графы, паросочетания и химия: как математика помогает считать связи»
Кузьмин Никита
Младший научный сотрудник Лаборатории алгоритмов и технологий анализа сетевых структур
Академический руководитель магистерской программы «Интеллектуальный анализ данных»
Аннотация:
Графы — это математические структуры, состоящие из вершин (точек) и рёбер (линий, соединяющих вершины). Они широко используются для моделирования различных процессов и систем в информатике, социологии, химии и других науках. Например, графы помогают описывать компьютерные сети, социальные связи, молекулярные структуры и многое другое. В данном проекте мы сосредоточимся на изучении особого класса графов и их свойств.
Паросочетание в графе — это набор рёбер, которые не имеют общих вершин. Иными словами, это способ выбрать несколько рёбер так, чтобы ни одно из них не "пересекалось" с другим. Паросочетания играют важную роль в теории графов и находят применение в задачах оптимизации, таких как распределение ресурсов или составление расписаний. Количество всех возможных паросочетаний в графе называется индексом Хосойи. Этот показатель имеет интересные связи с химией, так как он используется для описания свойств некоторых химических соединений, например, для предсказания их устойчивости или реакционной способности.
В рамках проекта мы рассмотрим задачу максимизации количества паросочетаний (индекса Хосойи) в классе связных графов с n вершинами и n+1 ребром, где n ≤ 10. Это открытая задача в области математической химии, но знания химии для её решения не понадобятся.
Цель проекта — исследовать структуру таких графов, разработать алгоритмы для перечисления паросочетаний и найти графы с максимальным индексом Хосойи. Это не только увлекательная математическая задача, но и возможность внести вклад в решение актуальной научной проблемы.
«Топологические свойства узлов: анализ и визуализация на Python»
Мартынов Тимур
Стажер-исследователь Международной лаборатории динамических систем и приложений
Студент 2 курса образовательной программы «Математика»
Аннотация:
Теория узлов — это увлекательная область математики, которая на протяжении веков захватывала воображение ученых и практиков. С древних времен узлы использовались в различных аспектах жизни, таких как мореплавание и текстильное производство. Однако только в XIX веке математическая теория узлов начала формироваться как отдельная дисциплина. Одним из предшественников этой теории был британский физик Уильям Томсон, предложивший идею о том, что атомы можно представить как завязанные в узлы вихри «эфира». Хотя эта модель была опровергнута, она вдохновила развитие теории узлов.
Данная дисциплина имеет много нерешенных проблем, но это не мешает учёным использовать её в различных областях науки, включая биологию и материаловедение. Она используется для изучения топологических свойств молекул ДНК и других полимеров, а также в разработке новых уникально прочных материалов.
Проект направлен на создание доступного и понятного изложения сложных математических концепций теории узлов, а также демонстрацию практического применения. Участники получат возможность углубиться в решение задач, связанных с теорией узлов, используя топологические методы и программирование на языке Python. В рамках проекта будут предложены разнообразные программные задачи, включая визуализацию узлов, распознавание тривиального узла и классификацию узлов по их инвариантам.
«Мир фракталов: от теории к программному исследованию»
Аннотация:
Фракталы — это уникальные математические объекты, которые обладают большим количеством свойств и находят применение в различных областях, таких как компьютерная графика, моделирование данных, обработка изображений и алгоритмическая генерация контента. Изучение фракталов позволяет глубже понять сложные природные явления. В ходе проекта участники смогут поработать на стыке математики и программирования, изучая основы создания и анализа фрактальных структур.
В рамках проекта планируется изучение базовых концепций фракталов, таких как множество Мандельброта, множество Жюлиа, треугольник Серпинского и кривая Коха. Участники узнают о математических принципах, лежащих в основе этих объектов, и их свойствах, таких как рекурсия, масштабирование и самоподобие. Затем они освоят основы языка программирования Python и научатся использовать популярные библиотеки для визуализации данных, такие как Matplotlib и Numpy.
Участники разработают демоверсию программы для учебных целей или дальнейшего развития, которая позволит строить фракталы и динамически изменять их параметры: глубину рекурсии, цветовую палитру, масштаб и другие характеристики. Это позволит наглядно наблюдать влияние параметров на свойства фракталов.
«Математика Успеха: теория вероятности в экономике и играх»
Цаплина Екатерина
Стажер-исследователь Международной лаборатории динамических систем и приложений
Преподаватель НИУ ВШЭ
Студентка 1 курса магистерской программы «Математика»
Аннотация:
На данном проекте нам предстоит погрузиться в увлекательный мир комбинаторики и теории вероятности, исследуя их применение теории игр и описании экономических процессов. С помощью реальных примеров мы будем анализировать известные парадоксы, такие как «Парадокс инспектора», «Парадокс Хуана Мануэля Родригеса Паррондо», «Парадокс Берксона», и выявлять их влияние на стратегии принятия решений. Участники получат возможность увидеть, как абстрактные математические концепции могут менять результаты исследований в реальном мире!
В рамках проекта нам также предстоит изучить основы комбинаторики, решить олимпиадные задачи из данного раздела математики, создать математическую модель процесса и с помощью python научиться объективно оценивать все риски и стратегии при принятии решений! Мы будем использовать реальные кейсы и аналитические игры, чтобы погрузиться в мир вероятностных расчетов и их влияния на конечный результат!
«Математические бильярды»
Шубин Данила
Научный сотрудник Международной лаборатории динамических систем и приложений
Аспирант 1 года программы «Математика и механика»
Преподаватель НИУ ВШЭ
Аннотация:
В рамках проекта участники познакомятся с удивительным миром математических бильярдов — моделей, в которых движение точки внутри заданной области подчиняется законам геометрии и физики. Мы рассмотрим классические задачи на бильярдах, узнаем, как такие модели помогают изучать хаос, симметрию, периодичность и многое другое.
Основной целью проекта станет разработка интерактивной программы, позволяющей:
задавать начальные условия (точку, направление);
определять форму бильярда с помощью формул или SVG-файлов;
рассматривать различные типы бильярдов:
классические с зеркальным отражением;
бильярды с законом преломления при столкновении со стенкой;
бильярды с внутренним потенциалом, влияющим на траекторию.
Участники получат опыт в математическом моделировании, программировании, а также научатся использовать визуализацию для анализа динамических систем.
«Реализация кривых Безье конечного порядка»
Ягилев Андрей
Стажер-исследователь Международной лаборатории динамических систем и приложений
Студент 2 курса образовательной программы «Математика»
Аннотация:
Кривые Безье были предложены в 60-х годах прошлого столетия независимо друг от друга двумя инженерами: Пьером Безье, работавшим в автомобильной компании "Рено", и Полем де Костельжо из компании "Ситроен". Изначально они предназначались для компьютерного проектирования кузовов автомобилей. Благодаря своей простоте эти кривые стали неотъемлемой частью компьютерной графики, анимаций, моделирования и шрифтовом дизайне.
Кривые Безье - это плавные линии, проходящие рядом с заданными контрольными точками, но не всегда их пересекающие. Они строятся с помощью специальных математических формул – полиномов Бернштейна.
В ходе проекта, участники ознакомятся с основной теорией кривых Безье, а именно как описывать их математически, после чего запрограммируют алгоритм их построения на языке python. В результате работы будет получен код, который будет считать полиномы Бернштейна для конечного числа точек, после чего изображать полученную кривую на плоскости.
Данный проект позволит участникам понять, на чем основаны современные методы компьютерного моделирования. Также будут изученые методы работы с такими библиотеками python, как mathplotlib, numpy и scipy.