Программа занятий в математическом клубе для школьников "Плюс"

Починка Ольга Витальевна
«Полезные     комплексные числа»

 Цикл лекций направлен на популяризацию комплексных чисел, посредством демонстрации их использования как для нужд самой математики, так и для решения прикладных задач.

1. Арифметика комплексных чисел

Плоскость комплексных чисел. Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел.  Операция перехода к сопряжённому числу. Векторная интерпретация комплексных чисел, их сложения и вычитания

2. Формула Муавра

Возведение комплексных чисел в степень и извлечение корня. Выведение тригонометрических формул. Многочлены Чебышова. Кривая Лиссажу.

3. Комплексные числа и топология

Понятие степени отображения на примерах окружности и поверхностей. Сфера Римана.  Основная теоремы алгебры

4. Конформные отображения

Функция Жуковского. Формула Эйлера.  Использование комплексных чисел при расчете цепей переменного тока.

5. Фракталы

Конструктивные фракталы. Итерационный процесс комплексных функций. Множества Жюлиа. Фрактал Мандельброта.


  Жукова Нина Ивановна
 «Теория множеств и    топология»

  Цикл лекций позволит представить школьникам, что изучают топология и дифференциальная геометрия и какие имеют приложения.

1. Сравнение бесконечных множеств. Континуум гипотеза.

      Выясняется, как сравнивать бесконечные множества. Вводится понятие мощности множества, доказывается несчетность множества действительных чисел. Обсуждается вопрос о существовании самого мощного множества. Рассказывается о континуум гипотезе и ее решении Коэном.

2. Первоначальные понятия топологии

     Определение топологических пространств. Метрическая топология. Топологическая эквивалентность. Понятие топологической классификации. Примеры.

3.  Топология двумерных многообразий

      Двумерные топологические многообразия. Триангуляция. Эйлерова характеристика поверхности. Ориентируемость  и классификация замкнутых двумерных многообразий. Задача Эйлера о многограннике.

4. Что изучает дифференциальная геометрия

      Гладкие кривые и поверхности. Кривизны поверхности и их геометрический смысл. Применение.

     Жужома Евгений Викторович

   «Бильярды и криптография»

  1. Математические бильярды I, II.

      Математическая идеализация обычного бильярда привела к понятию математического бильярда, введенному американским математиком Дж. Биркгофом в начале 20-го века. Оказалось, что некоторые задачи физики сводятся к изучению математических бильярдов. В первой лекции рассматривается простейший бильярд в круге, и показывается как его исследование сводится к исследованию жестких поворотов окружности. Во второй лекции рассматривается бильярд в прямоугольнике, и показывается, что изучение этого бильярда сводится к изучению геодезических линий на поверхности, которая является границей бублика (двумерный тор).

2. Математические методы шифрования информации I, II

      Способы шифровки и дешифровки сообщений стали предметом теоретических исследований математических разделов, которые называются криптографией и криптоанализом соответственно. Оказалось,  что такие абстрактные разделы математики как теория групп и теория чисел применяются в современных методах защиты информации во всех ведущих странах мира. В двух лекциях будут даны необходимые элементы теории групп и теории чисел, а затем будут приведены простейшие методы шифрования сообщений.

3.  Динамика в природе

     Приблизительно в 1860 году 24 европейских кролика были ввезены в Австралию неким Томасом Остиным. Через 20 лет популяция кроликов опустошила землю провинции Виктория до такой степени, что была объявлена награда в 25 000 фунтов стерлингов за решение возникшей проблемы. В 1910 году урон сельскому хозяйству был назван национальной трагедией. Мы рассмотрим популяцию австралийских кроликов с точки зрения математики.

Гуревич Елена Яковлевна

«Математическое моделирование: геометрический подход»

Цикл лекций объединен общей целью рассказать об  эффективных приложениях качественной теории динамических систем, сыгравших  важную роль в ее развитии.          

1.  Введение в качественную теорию динамических систем

    Понятие о дифференциальном уравнении.   Примеры простейших моделей в форме дифференциальных уравнений,  объясняющих некоторые законы, известные из курса школьной физики: движение с постоянным ускорением, гармонические осцилляторы, радиоактивный распад.   Геометрический подход:  как получить  важную информацию о решении уравнения, не решая его. Примеры: модель войны; одномерная модель воспроизводства в условиях ограниченности ресурса.

 2.  Линейные дифференциальные уравнения 

Экспонента. Комплексные числа – геометрическая интерпретация, пример практического использования (расчет условий резонанса). Линейный авторулевой.

 3.  Автоколебания  

Нелинейные модели. Эффективный подход к моделированию процесса генерации колебаний в отсутствии периодической внешней силы.

4. Детерминированный хаос

Подкова Смейла. Понятие грубости. Негрубые системы как модели деятельности мозга.

 Овсянников Иван Ильич

  «Бифуркации»

    1. Основы теории динамических систем и теории бифуркаций

            Понятие динамической системы с непрерывным и дискретным временем, их связь (отображение Пуанкаре, вложение в поток). Диаграммы Ламерея. Неподвижные точки. Системы, зависящие от параметров, понятие бифуркации. Грубость и негрубость динамических систем.

2. Состояния равновесия. Простейшие бифуркации

            Классификация состояний равновесия. Основные бифуркации коразмерности один (седло-узловая, бифуркация вилки, бифуркация Андронова-Хопфа). Предельный цикл. Опасные и безопасные границы устойчивости. Жесткий и мягкий режимы возбуждения.

3. Простейшие бифуркации неподвижных точек

            Классификация неподвижных точек. Основные бифуркации коразмерности один (седло-узловая, удвоение периода, рождение замкнутой инвариантной кривой). Резонансы и языки Арнольда.

4. Глобальные бифуркации   

            Понятие гомоклинической и гетероклинической орбиты. Гомоклинический хаос. Рождение периодического движения из петли сепаратрисы (двумерный и трехмерный случаи).

5. Элементы теории хаоса.

Простой пример системы с непростой динамикой: подкова Смейла. Петля седло-фокуса. Аттрактор Лоренца.