Дифференциальная геометрия и топология

2026/2027

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

10

Кредиты

Кто читает:

Кафедра фундаментальной математики (Факультет информатики, математики и компьютерных наук (Нижний Новгород))

Статус:

Курс обязательный

Когда читается:

2-й курс, 1-4 модуль

Преподаватели

Багаев Андрей Владимирович

Кольчурина Ольга Александровна

Шубин Данила Денисович

Программа дисциплины

Аннотация

В первой части семинара "Дифференциальная геометрия" изучается классическая геометрия кривых и поверхностей. Особое внимание уделяется геодезическим линиям и их свойствам. В частности, доказываются теоремы Клеро и описывается качественное поведение геодезических на поверхностях вращения. Вторая часть семинара посвящена введению в теорию гладких многообразий и риманову геометрию. Изучается теория гладких тензорных полей на многообразиях и, в частности, внешних форм. Определяется интегрирование внешних форм и доказывается формула Стокса. Активное изучение теоретических вопросов достигается благодаря решению многочисленных задач и упражнений.

Цель освоения дисциплины

• Ознакомление с основными понятиями современной дифференциальной геометрии и ее приложениями. Изучение основ геометрии, необходимых для освоения других математических дисциплин, и развитию практических навыков решения геометрических задач. Формирование у студентов представлений о дифференциальной геометрии, как одной из важнейших математических дисциплин, имеющей свой предмет, задачи и методы.

Планируемые результаты обучения

• Знание основных понятий и теорем теории гладких поверхностей. Умение вычислять первую и вторую квадратичные формы поверхности и применять их при решении задач дифференциальной геометрии.
• Знание теории вектор-функций, умение дифференцировать вектор-функции одного и двух переменных
• Знание теории гладких кривых. Умение вычислять кривизну и кручение пространственных кривых, вычислять базис Френе, составлять уравнения элементов трехгранника Френе и натуральных уравнений для плоских кривых.
• Знание теории параллельного переноса и геодезических линий. Умение составлять дифференциальные уравнения геодезических линий и решать их в частных случаях. Навыки описания качественного поведения геодезических на поверхностях вращения.

Содержание учебной дисциплины

• Анализ вектор-функций
• Гладкие кривые
• Гладкие поверхности
• Геодезические линии на поверхностях
• Общая топология

Элементы контроля

• Экзамен № 3
  Если оценка за экзамен неудовлетворительная (0, 1, 2, 3), то оценка за промежуточную аттестацию равна оценке за экзамен.
• Контрольная работа 1
  Задание содержит 3 задачи
• Контрольная работа 2
• Контрольная работа 3
• Экзамен № 1
  Если оценка за экзамен неудовлетворительная (0, 1, 2, 3) оценка за промежуточную аттестацию равна оценке за экзамен.
• Домашняя работа № 1
• Домашняя работа № 2
• Экзамен № 2
  Если оценка за экзамен неудовлетворительная (0, 1, 2, 3), то оценка за промежуточную аттестацию равна оценке за экзамен.
• Домашняя работа № 3

Промежуточная аттестация

• 2026/2027 1st module
  0.4 * Контрольная работа 1 + 0.1 * Домашняя работа № 1 + 0.5 * Экзамен № 1
• 2026/2027 2nd module
  0.5 * Экзамен № 2 + 0.4 * Контрольная работа 2 + 0.1 * Домашняя работа № 2
• 2026/2027 4th module
  0.4 * Контрольная работа 3 + 0.5 * Экзамен № 3 + 0.1 * Домашняя работа № 3

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии, учебник, Московский гос. ун-т им. М. В. Ломоносова, 2-е изд., испр., 307 с., Мищенко, А. С., Фоменко, А. Т., 2016
• Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии, под общ. ред. акад. А. Т. Фоменко, 409 с., Мищенко, А. С., Соловьев, Ю. П., Фоменко, А. Т., 2016

Рекомендуемая дополнительная литература

• Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии, учебник, 298 с., Мищенко, А. С., Фоменко, А. Т., 2004
• Розендорн, Э. Р. Задачи по дифференциальной геометрии : учебное пособие / Э. Р. Розендорн. — 3-е изд., испр. и доп. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2008. — 144 с. — ISBN 978-5-9221-0821-8. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/2295 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
• Сизый, С. В. Лекции по дифференциальной геометрии : учебное пособие / С. В. Сизый. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 346 с. — ISBN 978-5-9221-0742-6. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/2320 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
• Шаров, Г. С. Сборник задач по дифференциальной геометрии : учебное пособие / Г. С. Шаров, А. М. Шелехов, М. А. Шестакова. — Москва : МЦНМО, 2005. — 112 с. — ISBN 5-94057-207-3. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/9440 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.

Авторы

• Шубин Данила Денисович
• Ноздринова Елена Вячеславовна
• Багаев Андрей Владимирович