• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Differential Equations

2020/2021
Учебный год
ENG
Обучение ведется на английском языке
8
Кредиты

Преподаватель

Course Syllabus

Abstract

Изучение дисциплины «Дифференциальные уравнения и динамические системы» опирается на материал курсов «Математический анализ», «Алгебра», «Геометрия» и «Топология» в объеме первого курса, тесно связана с научно-исследовательским семинаром «Непрерывные динамические системы с визуализацией в системе Python», который читается параллельно на 2 курсе, и закладывает основу для понимания последующих дисциплин «Дополнительные главы дифференциальных уравнений и динамических систем», «Уравнения математической физики», а также научных семинаров старших курсов. Материал курса «Дифференциальные уравнения и динамические системы» является важнейшей частью базовой подготовки специалиста по математике.
Learning Objectives

Learning Objectives

  • Целью освоения дисциплины «Дифференциальные уравнения и динамические системы» является формирование у будущих специалистов теоретических знаний в области классической и современной теории дифференциальных уравнений, динамических систем и их приложений. В результате изучения курса дифференциальных уравнений уравнений студент должен: знать основные понятия и теоремы в области дифференциальных уравнений и динамических систем; уметь решать типовые задачи; приобрести опыт применения дифференциальных уравнений и динамических систем в приложениях.
Expected Learning Outcomes

Expected Learning Outcomes

  • Решает задачи и доказывает утверждения по теме модуля
Course Contents

Course Contents

  • Дифференциальные уравнения и динамические системы на прямой и окружности
    Общие понятия дифференциальных уравнений; поле направлений, решения; интегральные кривые; задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Метод изоклин построения интегральных кривых уравнения первого порядка. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Приемы интегрирования уравнений 1-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными, линейные уравнения первого порядка, уравнения в полных дифференциалах. Нелинейный осциллятор, системы Вольтерра-Лотки.
  • Теорема существования и единственности решения задачи Коши системы дифференциальных уравнений
    Доказательство теоремы методом последовательных приближений Пикара. Особые точки и особые решения.
  • Линейные уравнения
    Линейные неоднородные уравнения. Теорема о структуре решения. Метод вариации постоянных. Уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Колебания маятника. Резонанс.
  • Системы линейных дифференциальных уравнений
    Структура пространства решений систем с постоянными коэффициентами. Метод вариации постоянных.
  • Непрерывная зависимость решения от параметра. Автономные системы и векторные поля
    Непрерывная зависимость решения от параметра. Автономные системы и векторные поля. Поток векторного поля. Особые точки векторных полей. Индекс особой точки. Классификация особых точек систем второго порядка. Устойчивость решений по Ляпунову.
  • Дифференцируемость решения по параметру. Асимптотические методы решения дифференциальных уравнений
    Дифференцируемость решения по параметру. Асимптотические методы решения дифференциальных уравнений. Первые интегралы. Уравнения с частным и производными первого порядка.
  • Динамические системы на многообразиях
    Динамические системы на многообразиях. Топологическая эквивалентность и топологическая сопряженности. Понятие структурной устойчивости. Критерий грубости потоков на двумерной сфере. Потоки и каскады Морса-Смейла. Теория Пуанкаре-Бендиксона. Связь динамики гра- диентно-подобных систем и топологии несущего многообразия. Формула Эйлера-Пуанкаре. Энергетическая функция. Подходы к топологической классификации систем Морса-Смейла на поверхностях.
  • Линейная теория
    Линейные однородные уравнения и системы n-ого порядка. Теорема о структуре решения. Линейные уравнения и системы n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Линейные осцилляторы. Классификация простых состояний равновесия систем второго порядка.
Assessment Elements

Assessment Elements

  • non-blocking контрольная работа
  • non-blocking контрольная работа
  • non-blocking экзамен
Interim Assessment

Interim Assessment

  • Interim assessment (2 module)
    0.5 * контрольная работа + 0.5 * экзамен
  • Interim assessment (4 module)
    0.5 * Interim assessment (2 module) + 0.5 * экзамен
Bibliography

Bibliography

Recommended Core Bibliography

  • Аносов Д.В. - Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем - Московский центр непрерывного математического образования - 2010 - 200с. - ISBN: 978-5-94057-604-4 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/9281
  • Боровских А. В., Перов А. И. - ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В 2 Ч. ЧАСТЬ 1 3-е изд., пер. и доп. Учебник и практикум для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 327с. - ISBN: 978-5-534-01777-9 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/differencialnye-uravneniya-v-2-ch-chast-1-434022
  • Боровских А. В., Перов А. И. - ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В 2 Ч. ЧАСТЬ 2 3-е изд., пер. и доп. Учебник и практикум для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 274с. - ISBN: 978-5-534-02097-7 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/differencialnye-uravneniya-v-2-ch-chast-2-434701

Recommended Additional Bibliography

  • Арнольд В.И. - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Московский центр непрерывного математического образования - 2012 - 341с. - ISBN: 978-5-4439-2007-8 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/56392
  • Обыкновенные дифференциальные уравнения и система Maple: Учебное пособие / Егоров А.И. - М.:СОЛОН-Пр., 2016. - 392 с.: ISBN 978-5-91359-205-7
  • Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. - Дифференциальные уравнения - Издательство "Физматлит" - 2002 - 256с. - ISBN: 978-5-9221-0277-3 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/48171