Темы курсовых 1 курса (2015 год)

Предлагается изучить применение преобразований плоскости для решения геометрических задач. Одна из таких задач, имеющая практическое применение -- задача о построения шарнирного механизма, переводящего движение одного шарнира по окружности в движение другого шарнира по прямой (прямила).

 

Отображению плоскости, переводящего точку (x,y) в точку (ax+by, cx+dy), где a,b,c,d -- некоторые константы, поставим в соответствие разбиение плоскости на орбиты этого преобразования. При каких значениях коэффициентов два таких отображения дают одну и ту же картинку с точностью до взаимно однозначного и взаимно непрерывного отображения?

 

 3.  Губка Менгера (Нина Ивановна Жукова)

Геометрическим фракталом называют геометрическую фигуру, которая является самоподобной. Это означает, что эта фигура в целом устроена также как в малом с точностью до подобия. Губка Менгера — геометрический фрактал, один из трёхмерных аналогов ковра Серпинского. Предполагается знакомство с хаусдорфовой (фрактальной)  размерностью и вычисление дробной хаусдорфовой размерности у губки Менгера.

 

 4. Как провести через точку несколько прямых, параллельных данной (Ольга Витальевна Починка)

Среди аксиом Евклида была аксиома о параллельности прямых, а точнее, пятый постулат. В современной формулировке она говорит о существовании не более одной прямой, проходящей через данную точку вне данной прямой и параллельной этой данной прямой. Сложность формулировки пятого постулата породила мысль о возможной зависимости его от других постулатов, и потому возникали попытки вывести его из остальных предпосылок геометрии. Как правило, это заканчивалось неудачей. Наконец, в начале XX века почти одновременно сразу у нескольких математиков: у К. Гаусса в Германии, у Я. Больяи в Венгрии и у Н. Лобачевского в России возникла мысль о существовании геометрии, в которой верна аксиома: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную. В силу приоритета Н. Лобачевского, который первым выступил с этой идеей в 1826, и его вклада в развитие новой, отличной от евклидовой геометрии последняя была названа в его честь «геометрией Лобачевского».

 

Взаимно однозначное и непрерывное преобразование замкнутой поверхности на себя называется периодическим, если его некоторая степень является тождественным преобразованием. Якобом Нильсеном получены необходимые и достаточные условия топологической сопряженности двух периодических преобразований, заданных на ориентируемой поверхности заданного рода. Предметом данной курсовой является нахождение в каждом классе топологической сопряженности периодических преобразований двумерного тора стандартного представителя, который является либо автоморфизмом либо групповым сдвигом тора.

Приобщиться к современной физике очень непросто. Обычно это возможно на старших курсах вуза или даже в аспирантуре, когда освоен определенный объем знаний и навыков. Однако в конце ХХ века появилась новая наука – нелинейная динамика, основные идеи которой можно изложить на более доступном уровне. Более того, широкое внедрение компьютеров и их постоянное совершенствование позволяют молодым людям гораздо раньше соприкоснуться с научной работой в области нелинейной динамики. Существенную помощь в этом оказывает изучение дискретных отображений – систем, которые демонстрируют многие феномены нелинейной динамики.

Самые простые многообразия имеют размерность 2 и называются замкнутыми поверхностями. Примеры замкнутых поверхностей знакомы всем — это сфера (поверхность шара — или колобка), тор (поверхность бублика) и крендель (с двумя или большим количеством дырок в тесте). Как их можно получить и как различать – эти вопросы предлагается рассмотреть в курсовой работе.