Качественная теория многомерных систем и современные методы для компьютерного моделирования задач естествознания

В докладе рассматривается семейство кубических относительно первой производной дифференциальных уравнений второго порядка. Представители данного семейства уравнений возникают в различных прикладных задачах в механике, физике и биологии. Кроме того, подобные уравнения являются проекциями уравнений геодезических для двумерных римановых поверхностей. Рассматриваются задачи эквивалентности для исследуемого семейства уравнений и его интегрируемых случаев, в частности уравнений из классификации Пенлеве-Гамбье, относительно обобщенных нелокальных преобразований. Показано, что решения данных задач приводит к новым критериям интегрируемости и возможности построения первых интегралов и интегрирующих множителей. Также рассматривается вопрос о существовании представления Лакса для уравнений из построенных классов эквивалентности. Демонстрируется что данные результаты могут быть использованы для поиска интегрируемых и суперинтегрируемых двумерных Римановых метрик.

Доклад посвящен проблеме нахождения инвариантов для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Будет дано детальное описание метода, позволяющего находить все инвариантные алгебраические многообразия для широких классов полиномиальных обыкновенных дифференциальных уравнений. Также планируется рассмотреть приложения теории инвариантов при исследовании интегрируемости и разрешимости дифференциальных систем.

 В рамках доклада будут представлены результаты исследования хаотического поведения в системах под периодическим импульсным воздействием. С помощью спектра показателей Ляпунова в пространстве параметров внешней силы классифицированы различные типы хаотического поведения, в том числе многомерный хаос, описаны сценарии развития различных типов аттракторов. В случае подачи импульсов возможно наблюдать различные нелинейные эффекты: синхронизации и стабилизации, которые будут обсуждаться в рамках доклада. 

Доклад посвящен множителю Якоби для автономной динамической системы размерности два и выше и его применениям для построения первых интегралов, поиска изолированных периодических траекторий, решения обратной задачи вариационного исчисления и ряда других задач. Также будут рассмотрены различные способы построения интегрирующего множителя для заданной динамической системы, в частности с использованием групп Ли и нелокальных преобразований.

В рамках доклада будет предложено математическое обоснование явления слияния аттрактора с репеллером, которое часто наблюдается при численных исследованиях. Режимы, которые наблюдаются в динамических системах, отождествляются с аттракторами (в том же смысле, как они определяются в одной из работ Рюэлля). Будет показано, что эти аттракторы могут быть трех разных типов. Аттракторы первых двух типов соответствуют двум хорошо известным типам хаотического поведения – консервативному и диссипативному, тогда как аттракторы третьего типа (обратимые ядра) относятся к новому типу хаоса – так называемой смешанной динамике, характеризующейся принципиальной неразделимостью диссипативного и консервативного поведения. Будет доказано, что каждая эллиптическая траектория типичной неконсервативной обратимой по времени системы является обратимым ядром. Также будет доказано, что типичная обратимая система с эллиптической траекторией является универсальной, т.е. демонстрирует максимально богатую и сложную динамику.

В рамках доклада будет предложено математическое обоснование явления слияния аттрактора с репеллером, которое часто наблюдается при численных исследованиях. Режимы, которые наблюдаются в динамических системах, отождествляются с аттракторами (в том же смысле, как они определяются в одной из работ Рюэлля). Будет показано, что эти аттракторы могут быть трех разных типов. Аттракторы первых двух типов соответствуют двум хорошо известным типам хаотического поведения – консервативному и диссипативному, тогда как аттракторы третьего типа (обратимые ядра) относятся к новому типу хаоса – так называемой смешанной динамике, характеризующейся принципиальной неразделимостью диссипативного и консервативного поведения. Будет доказано, что каждая эллиптическая траектория типичной неконсервативной обратимой по времени системы является обратимым ядром. Также будет доказано, что типичная обратимая система с эллиптической траекторией является универсальной, т.е. демонстрирует максимально богатую и сложную динамику.

В рамках семинара будет представлен обзор моделей кардиомиоцитов, описывемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Будут обсуждаться особенности многомерных систем, их структура. Будут представлены результаты исследования простейшей модели кардиомиоцита (трехмерная система) под периодическим импульсным воздействием, проиллюстрированы основные сценарии развития различных типов хаотической динамики.

27 июня 2023 года в 15:00, на заседании Международной лаборатории динамических систем и приложений состоялась предварительная защита кандидатской диссертации члена научного коллектива Самылиной Евгении Александровны на тему: «Хаотическая динамика обратимых и диссипативных систем».

Научный руководитель: Казаков Алексей Олегович, д.ф.-м.н., главный научный сотрудник лаборатории ДСП.

Рецензенты:
д.ф.-м.н. Жужома Евгений Викторович, профессор кафедры фундаментальной математики факультета информатики, математики и компьютерных наук НИУ ВШЭ - Нижний Новгород
д.ф.-м.н. Лерман Лев Михайлович, профессор кафедры фундаментальной математики факультета информатики, математики и компьютерных наук НИУ ВШЭ - Нижний Новгород 

Читать новость на портале

19 декабря 2023 года в 15:30, на заседании Международной лаборатории динамических систем и приложений состоится предварительная защита кандидатской диссертации Чигарева Владимира Геннадьевича на тему: «О хаотических аттракторах и репеллерах в системах с компактным фазовым пространством».

Научный руководитель: Казаков Алексей Олегович, д.ф.-м.н., главный научный сотрудник лаборатории ДСП.

Рецензенты:
д.ф.-м.н. Гонченко Сергей Владимирович, в.н.с., ННГУ им. Н.И. Лобачевского, г.н.с. МЛ ДСП НИУ ВШЭ - Нижний Новгород.
д.ф.-м.н. Жужома Евгений Викторович, профессор кафедры фундаментальной математики факультета информатики, математики и компьютерных наук НИУ ВШЭ - Нижний Новгород.

30 января состоялось представление результатов выполнения проекта "Развитие аналитических и численных методов исследования многомерных динамических систем. Этап I" за 2023 год перед научной комиссией НИУ ВШЭ Н.Новгород.

В ходе выступления были представлены основные результаты, полученные в течение первого года, а также ключевые показатели эффективности реализации проекта, а также обсуждалась возможность использования результатов для решения широкого круга прикладных задач. 

Также Комитет по передовым исследованиям НИУ ВШЭ на заседании от 09.02.2024 рассмотрел итоги реализации проекта за 2023 год и рекомендовал его к продлению на 2024 год. 

Читать новость на портале

Читать новость на портале

Была опубликована статья "On non-trivial hyperbolic sets and their bifurcations in families of diffeomorphisms of a two-dimensional torus" в международной рецензиеруемом журнале "Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science" (Q1, список А НИУ ВШЭ)

Авторы: Алексей Казаков, Дмитрий Минц, Юлия Петрова, Олег Шилов

Авторами была предложена простая модель — двухпараметрическое семейство диффеоморфизмов двумерного тора. Комбинируя аналитические и численные методы, для данной модели была обнаружена область на плоскости параметров, в которой каждый диффеоморфизм семейства является гиперболическим. Была описана структура соответствующих гиперболических множеств. Также были изучены бифуркации на границах этих областей, приводящие к смене типа гиперболичности (от диффеоморфизмов Аносова к DA-диффеоморфизмам).

12 сентября 2024 года в 12:00 cостоится защита диссертации Самылиной Евгении Александровны на тему «Хаотическая динамика обратимых и диссипативных систем», представленной на соискание учёной степени кандидата наук по прикладной математике.

Научный руководитель:  доктор наук по прикладной математике, профессор Казаков Алексей Олегович 

Защита будет проходить в смешанном формате по адресу: г.Москва, ул.Таллинская, 34, ауд.501 (зал ученого совета).

С текстом  диссертации, резюме и материалами по защите  можно ознакомиться  по ссылке.

18 сентября 2024 года в 11.00 состоится защита диссертации Чигарёва Владимира Геннадьевича на тему «О хаотических аттракторах и репеллерах в системах с компактным фазовым пространством», представленной на соискание ученой степени кандидата наук по прикладной математике.

Научный руководитель:  доктор наук по прикладной математике, профессор  Казаков Алексей Олегович.

Защита будет проходить в дистанционном формате. Для получения доступа к онлайн-трансляции защиты обратитесь к менеджеру диссертационного совета.
С текстом  диссертации, резюме и материалами по защите  можно ознакомиться  по ссылке.

В рамках работы над межкампусным проектом «Качественная теория многомерных систем и современные методы для компьютерного моделирования задач естествознания» сотрудниками лаборатории динамических систем и приложений (НИУ ВШЭ, Нижний Новгород) Е.Ю. Каратецкой, А.О. Казаковым и К.А. Сафоновым совместно с Д.В. Тураевым (Imperial College, London) были проведено исследование бифуркации состояний равновесия в системах дифференциальных уравнений инвариантных относительно Z4-симметрий. Было показано, что бифуркации состояния равновесия с трехкратным нулевым собственным значениям могут приводить к возникновению сложной динамики и хаотических аттракторов. Более того, было установлено, что возникающие хаотические аттракторы являются либо классическими аттракторами Лоренца, либо псевдогиперболическими аттракторами нового вида - Z4-симметричный четырехкрылый аттрактор Симо. Также в рамках исследования был открыт и исследован новый случай бифуркации гетероклинического контура, приводящей к рождению хаотических аттракторов.

Полученные результаты предоставляют достаточно простой и эффективный инструмент для поиска и доказательства существования псевдогиперболических аттракторов лоренцевского вида в различных системах дифференциальных уравнений. По результатам исследования была подготовлена и опубликована статья «Analytic proof of the emergence of new type of Lorenz-like attractors from the triple instability in systems with Z4-symmetry» в журнале «Journal of Differential Equations».
Научное исследование реализуется в рамках «межкампусного проекта».

Читать новость на портале