Доклад И.Д. Ремизова в МИАН им. В.А. Стеклова

27 февраля старший научный сотрудник Международной лаборатории ДСП Иван Дмитриевич Ремизов выступил с докладом на семинаре Отдела математической физики МИАН им. В.А.Стеклова.

Тема доклада: "О новых методах аппроксимаций решений эволюционных уравнений с переменными коэффициентами"

Аннотация: Известно, что сильно непрерывные полугруппы линейных ограниченных операторов (называемые также C₀-полугруппами) дают решения задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений с частными производными, т.е. уравнений вида u'_t(t,x)=L(x)u(t,x), где L - линейный дифференциальный оператор с переменными коэффициентами. К этому классу уравнений относятся, в частности, нестационарное уравнение Шрёдингера с любым гамильтонианом, параболические уравнения и уравнения более высоких порядков - с переменными коэффициентами, зависящими только от пространственной координаты х, но не от времени t. Решение имеет вид u(t,x)=exp(tL)u₀)(x), где u₀(x)=u(0,x) - начальное условие, а exp(tL) - параметризованная параметром t полугруппа операторов (центральный объект доклада). Равенство u=exp(tL)u₀ показывает, что нахождение полугруппы - это трудная задача, так как она равносильна нахождению решения задачи Коши при всех возможных начальных условиях, а уравнения с частными производными и переменными коэффициентами решать трудно (но всё равно нужно).

В докладе были представлены полученные автором в последние годы результаты, которые вместе с теоремой Чернова позволяют находить аппроксимации к решениям широких классов эволюционных уравнений. Эти результаты позволяют, в частности, выражать решения уравнения Шрёдингера (для простого случая, когда гамильтониан имеет вид лапласиан плюс потенциал) через решения уравнения теплопроводности. Техника может быть применена к уравнению Шрёдингера с произвольным самосопряжённым гамильтонианом, тогда вместо уравнения теплопроводности будет уравнение, полученное из уравнения Шрёдингера путём стирания мнимой единицы. В частности, были представлены формулы, выражающие решение уравнения Шрёдингера на прямой с производными сколь угодно высокого порядка и переменными коэффициентами через эти коэффициенты и начальное условие. Также были представлены формулы, выражающие решение многомерного параболического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами через эти коэффициенты и начальное условие. Все эти формулы представляют собой пределы аппроксимирующих решение функций. Был рассмотрен вопрос о скорости сходимости этих аппроксимаций.