Исследование топологических свойств автоморфизмов 4-мерного тора

О ведущихся исследованиях.

В рамках работы с молодыми исследователями лаборатории изучались ИТ, порожденные целочисленными симплектическимипреобразованиями в R4. Обычно такие преобразования называются симплектическими автоморфизмами тора. Целью была классификация возможных типов поведения траекторий симплектических автоморфизмов на T4. Автоморфизмы разбиты на два класса и для каждого из них получена классификация.

Работа "Топология симплектических частично гиперболических автоморфизмов 4-мерного тора" Л. М. Лерман, К. Н. Трифонов. принята к печати в журнал "Математические заметки", а работа "Geometry of symplectic partially hyperbolic automorphisms of 4-dimensioanl torus" направлена в печать в журнал Dynamical Systems.

Изучается динамика обратимой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы, имеющей симметричный гетероклинический контур, состоящий из симметричного седло-центра, симметричной седловой периодической траектории в том же уровне гамильтониана (а поэтому - и во всех близких уровнях) и двух несимметричных гетероклинических траекторий, переставляемых инволюцией, которые идут от седло-центра к периодической траектории, одна - при возрастании времени и, другая, соответственно, - при убывании времени. Получены следующие результаты: 1) существование счетного множества трансверсальных гомоклинических траекторий к периодической траектории и связанного с ними гиперболического множества на критическом уровне гамильтониана; пары гетероклинических контуров, состоящих из двух седловых периодических траекторий и 4-х трансверсальных гетероклинических траекторий, связанных с ними, а также гиперболического множества, построенного на них - на некритическом положительном уровне гамильтониана; счетного семейства гомоклинических траекторий к седло- центру в однопараметрическом семействе систем, одна из которых имеет указанный контур, счетных семейств эллиптических периодических траекторий в окрестности контура.

Работа Л. М. Лермана и К. Н. Трифонова "Динамика обратимой гамильтоновой системы в окрестности симметричного гетероклинического контура" подготавливается для представления в "Математический сборник".