"Благодаря симбиозу математики и компьютерного моделирования теория динамического хаоса получила сильный импульс в развитии"

Ведущий научный сотрудник Международной лаборатории динамических систем и приложений Алексей Олегович Казаков защитил докторскую диссертацию на тему «Псевдогиперболические аттракторы и смешанная динамика в многомерных динамических системах». В интервью службе портала Алексей рассказал, как ученые пытаются объяснить эффект бабочки, помогает ли рыбалка решению фундаментальных математических задач и как компьютерное моделирование дополняет математику.

- Алексей, с чего началась Ваша любовь к математике?

- Все началось со школьных городских олимпиад по математике. В первый раз неожиданно для себя я занял третье место. Через год – второе. Возникло ощущение, что мне стоит развиваться в этом направлении. После окончания школы поступил на факультет вычислительной математики и кибернетики ННГУ им. Лобачевского. И это оказалось очень важным решением, потому что я изучал не только математику, но и программирование. Впоследствии мне это пригодилось в научной деятельности.

- Как сейчас сочетаются математика и программирование в Ваших интересах?

- Прикладная математика и программирование идут в паре, дополняя друг друга. Результатами исследований математиков являются строгие определения, леммы, теоремы. А моя сфера деятельности – исследование и объяснение явлений природы. Мне интереснее разобраться с сутью явлений, чем заниматься доказательствами теорем. И здесь приходит на помощь прикладная математика и численные методы, когда можно применить качественные и численные методы к решению задач, возникших не в недрах самой математики, а в реальной жизни.

- Когда Вы решили заниматься наукой?

- В университете, на 4-5 курсе. Хотя поначалу мне, выпускнику обычной школы г. Дзержинска, было нелегко учиться в вузе. Но постепенно влился в учебный процесс, стал участвовать в университетских проектах лаборатории ITLab ННГУ. Первый из таких проектов был посвящен разработке программного комплекса, направленного на решение задач глобальной оптимизации. С этого и начались мои первые шаги в науке. Заканчивая магистратуру, я уже точно знал, что пойду в аспирантуру и дальше буду строить академическую карьеру.

- Как началась Ваша академическая карьера?

- В 2011 году я стал сотрудником лаборатории нелинейного анализа и конструирования новых средств передвижения, созданной за счет Мегагранта в 2010 году в УдГУ (Ижевск). В этой лаборатории я оказался благодаря профессору Сергею Владимировичу Гонченко, включившему меня в заявку проекта, и профессору Алексею Владимировичу Борисову, предложившему мне устроиться в лабораторию младшим научным сотрудником. В список наших задач входили численные исследования моделей движения твердого тела и разработка программного комплекса. В 2014 году результаты этих исследований вошли в мою кандидатскую диссертацию, а позже на их основе выделилось отдельное научное направление, раскрытое в рамках уже моей докторской диссертации.

В 2015 году меня пригласила в Вышку заведующий Международной лабораторией динамических систем и приложений Ольга Витальевна Починка, с которой мы познакомились на «шильниковских» семинарах по динамическим системам в Научно-исследовательском институте прикладной математики и кибернетики. Так я оказался в числе первых преподавателей, которые пришли на образовательную программу «Математика», стояли у ее истоков. За это я до сих пор благодарен Ольге Витальевне.

- Как формировались Ваши исследовательские интересы?

- Мои исследовательские интересы сложились под влиянием работ моего научного консультанта, доктора физико-математических наук Сергея Владимировича Гонченко, ученика профессора Леонида Павловича Шильникова – основателя и лидера всемирно известной нижегородской школы по теории бифуркаций и сложной динамике многомерных динамических систем.

В теории динамического хаоса существовал ряд открытых вопросов. Например:

- существуют ли «настоящие» хаотические аттракторы, отличные от гиперболических и сингулярно-гиперболических (лоренцевского типа) аттракторов;

- как объяснить явления визуального перекрытия хаотических аттрактора и репеллера, часто наблюдаемое в численных экспериментах;

- может ли гиперхаос возникать в системах малой размерности.

В своих исследованиях нам удалось получить ответы на эти вопросы. Более того, перед нами открылось целое направление деятельности. Было понятно, что, развивая его, можно написать кандидатскую диссертацию, а в дальнейшем и докторскую.

- Как Вам удалось показать, что подобные явления встречаются в природе?

- Благодаря симбиозу математики и компьютерного моделирования удалось существенно продвинуться как в теории динамических систем, так и в развитии методов исследования конкретных моделей. Если говорить конкретно о том, что было сделано, можно отметить следующие наиболее значимые, на мой взгляд, результаты:

- приведены примеры конкретных систем, демонстрирующих настоящие (псевдогиперболические) аттракторы;

- применение концепции смешанной динамики позволило положительно ответить на вопрос о возникновении гиперхаоса у двумерных диффеоморфизмов, а также объяснить визуальное перекрытие хаотических аттрактора и репеллера для целых классов динамических систем;

- обнаружен ряд систем из приложений, демонстрирующих третий тип динамического хаоса – смешанную динамику – хотя раньше считалось, что их всего два.

На основе развитой теории был обнаружен целый ряд новых явлений и эффектов:

- открыто явление мгновенного возникновения смешанной динамики, в результате столкновения аттрактора и репеллера;

- открыта сильно-диссипативная смешанная динамика (когда численно найденные хаотические аттрактор и репеллер пересекаются, но сильно отличаются, хотя теоретически они должны совпадать);

- открыты новые типы реверса в неголономной динамике твердого тела – для сферических тел со смещенным центром масс.

Именно эти результаты  вошли в мою докторскую диссертацию.

Все эти открытия еще сильнее подчеркнули значимость науки, которая десятилетиями разрабатывалась в Нижнем Новгороде. Подтвердилось, что все это очень актуально и служит развитию науки, в частности таких направлений, как теория динамических систем и динамического хаоса.

- Существует ли практическое значение у этих исследований?

- Пока все это, как принято говорить, фундаментальные исследования, продиктованные логикой развития науки. Их важность в том, что приходит глубокое понимание некоторых явлений. Наш мир хаотичен. Пожалуй, всем известен эффект бабочки, когда незначительное влияние на систему может иметь масштабные и непредсказуемые последствия.

Почему можно точно предсказывать расположение мелких астероидов на десятки и сотни лет вперед, но прогноз погоды практически никогда не сбывается уже через неделю? Почему нельзя сказать сегодня, сколько точно будет стоить доллар завтра?

Эти вопросы кажутся еще более загадочными с учетом того, что и для тех, и для других процессов существуют адекватные математические модели (динамические системы), позволяющие однозначно, основываясь на настоящем, предсказывать будущее. Все дело в том, что как сказал один из первооткрывателей детерминированного хаоса, метеоролог Эдвард Лоренц: «Настоящее определяет будущее. Однако приблизительное настоящее не определяет будущее даже приблизительно».

То есть даже малейшие отклонения в оценке текущего состояния при моделировании приводят к огромным отклонениям в предсказании будущего. Математики называют такое явление «детерминированным хаосом», в литературе оно известно как эффект бабочки.

В настоящее время теория детерминированного хаоса бурно развивается. Мы пытаемся понять природу и свойства хаотических явлений, как они возникают и как могут разрушиться, как на их месте могут возникнуть регулярные режимы. Пока это довольно абстрактно, но вскоре мы сможем увидеть, какое значение эти процессы приобретут в будущем.

- Международное научное сообщество знает об открытиях, описанных в Вашем исследовании?

- Результаты наших исследований опубликованы в известных мировому сообществу научных рецензируемых журналах, таких как Chaos, Physica D, Nonlinearity, Regular and Chaotic Dynamics и др. Особенно приятно, что ученые не только читают наши работы, но и опираются на наши результаты в своих исследованиях, продолжая развивать это направление. Об этом свидетельствует большое количество ссылок на наши работы.

Так, например, на одну их наших работ «The reversal and chaotic attractor in the nonholonomic model of Chaplygin’s top», посвященную исследованию хаотической динамики и реверса неуравновешенного шара по плоскости, уже более 60 ссылок. На работу, опубликованную в 2021 г. и посвященную открытию дикого псевдогиперболического аттрактора: «Wild pseudohyperbolic attractor in a four-dimensional Lorenz system», почти 30 ссылок по системе google scholar. Для математических работ такие показатели считаются высокими.

- Работа над такими сложными задачами, безусловно, требует много сил. Как удается восстановить их? Чем, помимо математики, наполнены будни молодого ученого?

- 2-3 раза в неделю играю в мини-футбол. Физические нагрузки очень способствуют разрядке мозга.

И еще одно мое хобби – рыбалка. Причем круглый год. И здесь я отдыхаю и работаю. Был случай, когда мне нужно было написать заявку на грант. И нужные идеи пришли именно во время рыбалки. Нередко в эти минуты тишины и покоя появляются решения математических задач.

- Будете ли Вы развивать тему Вашей диссертации в дальнейшей научной деятельности?

- Чем больше ответов мы находим, тем больше новых задач появляется. Новое открытие, как лавина, требует изучить одно, посмотреть другое… Попутно при решении одной задачи возникает целый ряд других, требующих, в том числе, развития соответствующей теории и создания новых методов исследования. Можно сказать, что мы залезли в такую область, где непонятно где край. (смеется)

К развитию этого направления я активно привлекаю своих учеников. Сейчас под моим руководством ребята пишут кандидатские диссертации. Надеюсь, что в следующем году будут первые защиты. Мы проводим исследования по применению теории хаоса в экономике, в нейронауке, в моделировании мозга. Конечно, моя мечта как любого ученого, при жизни сделать открытие, которое будет иметь важное значение для человечества. Будем работать и к этому стремиться!