Нижегородские математики Олег Галкин и Иван Ремизов из ВШЭ доказали фундаментальную теорему о скорости сходимости черновских аппроксимаций операторных полугрупп

Научный прорыв совершили математики О.Е. Галкин и И.Д. Ремизов из нижегородского кампуса ВШЭ. Они решили задачу, появившуюся более полувека назад. Американский математик Пол Чернов в 1968 году  доказал — носящую теперь его имя — теорему об аппроксимации полугрупп операторов. Оценки на скорость сходимости этих аппроксимаций нашли Галкин и Ремизов. В январе 2025 статья российских учёных была опубликована в престижном научном журнале Israel Journal of Mathematics.

Одной из важнейших функций в математике является экспонента. Она естественным образом возникает почти в каждом разделе современной математики. Экспонентой от вещественного числа x называется число e (так же известное как число Эйлера), равное приблизительно 2.7, возведённое в степень x, записывается это так: e^x. За сотни лет существования продвинутой алгебры и анализа математики научились подставлять на место x самые различные математические объекты, каждый раз извлекая из этого ту или иную пользу. Нижегородские математики Олег Евгеньевич Галкин и Иван Дмитриевич Ремизов исследовали свойства экспоненты с точки зрения функционального анализа. При таком подходе и x, и ex — это линейные операторы. В общем курсе высшей математики для вузов экспонента в этом смысле используется в теории дифференциальных уравнений для описания точного решения системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Но понятие об экспоненте как о линейном операторе полезно также в теории уравнений с частными производными, квантовой механике, теории случайных процессов, теории управления и других разделах современной науки и техники. 

Экспоненту от конечной матрицы и от линейного ограниченного оператора в бесконечномерном банаховом пространстве можно задать стандартным степенным рядом для экспоненты, который сходится по обычной норме операторов — полностью аналогично нахождению экспоненты от вещественного числа. Если оператор замкнутый, но не ограниченный, то он определён не всюду, поэтому ряд по его степеням — весьма неудобный объект, и не подходит для определения экспоненты.

Однако разумный аналог экспоненты для неограниченного оператора всё же существует. Соответствующий объект называется сильно непрерывной однопараметрической полугруппой операторов (или короче — С₀-полугруппа). В отличие от степенного ряда, определение C₀-полугруппы не даёт никакого метода для вычисления экспоненты даже приближённо. Тем не менее, такие методы есть. Они требуют вычисления резольвенты оператора, что зачастую представляет собой непростую задачу.

Один из методов приближённого вычисления экспоненты от неограниченного линейного оператора дает теорема Чернова — бесконечномерный вариант теоремы о "втором замечательном пределе" из курса элементарного анализа. Пол Чернов (Paul Chernoff) опубликовал её в своей кандидатской (Ph.D.) диссертации, защищённой в Гарвардском университете в 1968 году. Теорема Чернова утверждает, что если известна так называемая операторно-значная функция Чернова для оператора А, то экспоненту от А можно выразить в виде предела произведения некоторых построенных по функции Чернова ограниченных операторов при стремящемся к бесконечности числе сомножителей. Таким образом, получается последовательность операторов, называемых черновскими аппроксимациями полугруппы: сначала один сомножитель, потом два, три и так далее. Согласно теореме Чернова, эта последовательность сходится к экспоненте от А. Причём каждый член этой последовательности однозначно и без сложных процедур вычисляется по функции Чернова.

Теорема Чернова — блестящий математический результат. Однако появились две новые проблемы.

Во-первых, теорема Чернова не содержит в себе общих методов построения функций Чернова. Заслуженному профессору МГУ О.Г.Смолянову и его ученикам удалось построить функции Чернова для достаточно большого количества частных случаев, а в кандидатской диссертации И.Д. Ремизова были найдены универсальные методы построения черновских аппроксимаций.

Во-вторых, скорость сходимости черновских аппроксимаций заранее не известна: теорема Чернова утверждает лишь факт сходимости, но ничего не говорит о том, как быстро убывает к нулю при росте n разница между полугруппой и n-ой черновской аппроксимацией. Соответственно, непонятно, как строить функции Чернова, показывающие наиболее высокую скорость сходимости.

О.Е. Галкину и И.Д. Ремизову удалось доказать примерно следующее: если функция Чернова имеет один с полугруппой многочлен Тейлора порядка k и мало уклоняется от своего многочлена Тейлора, то черновские аппроксимации полугруппы, построенные по этой функции Чернова, имеют скорость сходимости не хуже, чем порядка 1/n^k, где n - номер аппроксимации. Заметим, что даже одномерный аналог этого результата, когда экспонента вычисляется просто от вещественного числа, весьма нетривиален.

Стоит отметить, что теорема Чернова, известная с 1968 года, активно используется, о чём говорят более 570 цитирований статьи Чернова, по версии Google Scholar. Попытки усилить теорему Чернова с тем, чтобы получать не только факт сходимости, но и оценки на скорость сходимости, предпринимались неоднократно зарубежными и российскими математиками, но никому не удалось получить, например, условия, которым должна удовлетворять функций Чернова, чтобы построенные по ней аппроксимации имели скорость сходимости не хуже, чем порядка 1/n³. Галкин и Ремизов решили эту задачу в общем виде для 1/n^k, где k - любое натуральное число. Именно поэтому их открытие можно характеризовать как прорыв в науке!

Результат был доброжелательно встречен научным сообществом. В докладе О.Е. Галкина и И.Д. Ремизова на международной научной конференции "Бесконечномерный анализ и математическая физика 2025". Было дано элементарное введение в тематику, рассказано о приложениях и сформулирована теорема об оценках на скорость сходимости черновских аппроксимаций. Все желающие могут ознакомиться с записью доклада.

Теорема Галкина-Ремизова с примерами и доказательством приведена в недавно вышедшей в Israel Journal of Mathematics статье O. E. Galkin, I. D. Remizov. Upper and lower estimates for rate of convergence in the Chernoff product formula for semigroups of operators// Israel Journal of Mathematics, 265:2 (2025), 929–943.

Помимо основного места работы ВШЭ-НН Иван Ремизов является также сотрудником Добрушинской лаборатории Института проблем передачи информации имени А.А.Харкевича.

Работа выполнена при поддержке Программы фундаментальных исследований НИУ ВШЭ и Международной лаборатории динамических систем и приложений НИУ ВШЭ, грант Российского научного фонда №23-71-30008 «Диссипативная динамика бесконечномерных и конечномерных систем, разработка математических моделей механических, гидродинамических процессов».